Numerik

MAKALAH

 KONSEP METODE NUMERIK

DAN

KONSEP ANALISIS KESALAHAN (GALAT)

Tugas Mata Kuliah : Metode Numerik

Dosen Pengampu : Lydia Lia Prayitno, S.Pd., M.Pd.

 

Oleh :

Yuwensi Prastika S.              125500083

Leni Rahmawati                    125500190

UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2016

KONSEP METODE NUMERIK DAN KONSEP ANALISIS KESALAHAN (GALAT)

A.    Konsep Metode Numerik

Berbagai bentuk permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu dari dua metode, yakni metode analitik atau metode numerik. Namun, banyak permasalahan matematis yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Metode analitik disebut juga metode sejati karena solusi yang dihasikan merupakan solusi sejati yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Sedangkan secara harfiah terdiri dari dua suku kata yaitu, metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Sehingga metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.

Perbedaan metode analitik dan metode numerik terletak pada dua hal sebagai berikut.

1.     Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka. Sedangkan pada metode analitik biasanya dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka atau numerik.

2.     Solusi dari metode numerik menghasilkan solusi hampiran atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan. Sedangkan metode analitik menghasilkan solusi sejati.

Contoh 1:

Hitunglah nilai integral berikut !

Penyelesaian:

1.      Dengan metode analitik

      

=

 = {4(1) -  } – {4(-1) -  

 = {4 -  } - {- 4 +  }

  = {4 -  + 4 - }

  = 8 -

  =

  = 7,333333

Perhatikanlah bahwa  adalah solusi analitik dalam bentuk fungsi matematik, sedangkan  adalah nilai numerik integral tentu yang diperoleh dengan cara mengevaluasi fungsi matematik tersebut untuk batas-batas integrasi x = 1 dan x = -1. Bandingkan cara di atas dengan metode numerik di bawah ini.

2.      Dengan metode numerik

Untuk menyelesaikan persoalan di atas dengan menggunakan metode numerik, kita bisa menyelesaiakanya dengan mencari luas daerah yang dibatasi oleh integrasi x = 1 dan x = -1. Luas daerah tersebut dapat dihampiri dengan cara, membagi daerah integrasi , [-1,1] di atas sejumlah trapesium dengan lebar 0,5. Maka luas daerah integrasi dihampiri dengan luas keempat buah trapesium, seperti gambar berikut:

-2

x

2

-0,5

-1

0

0,5

1

y

p

q

r

s

y = 4 – x2

Gambar 1.1

 

                                                                  

                      

          I ≈ p + q + r + s

≈ {[f(-1) + f(-0,5)] x 0,5/2} + {[f(-0,5) + f(0)] x 0,5/2} + {[f(0) + f(0,5)]     x 0,5/2} + {[f(0,5) + f(1)] x 0,5/2}

≈ 0,5/2{f(-1) + 2f(-0,5) + 2f(0) + 2f(0,5) + f(1)}

≈ 0,5/2 {3 + 7,5 + 8 + 7,5 + 3 }

≈ 7, 25

Dari penyelesaian di atas, diperoleh solusi hampiran 7, 25 menggunakan metode numerik dan solusi sejatinya 7,3333….. menggunakan metode analitik.

B.     Konsep Analisis Kesalahan (Galat)

Penyelesaian secara numeris dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak atau solusi sebenarnya (sejati) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat galat atau kesalahan (error) terhadap nilai sejati atau penyelesaian yang sebenarnya. Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik, karena galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan solusi sejatinya. Semakin kecil galat, maka semakin teliti solusi numerik yang diperoleh. Sehingga galat dapat didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran yang dapat dinyatakan seperti berikut:

e = a – â                 dengan :   e   : galat

                                               â   : nilai hampiran

                                               a   : nilai sejati

Nilai galat positif ataupun negatif tidak berpengaruh, sehingga perhitungannya digunakan tanda mutlak, yang didefinisikan sebagai berikut: | e | = | a – â |.

Kesalahan seperti tersebut disebut galat absolut atau galat mutlak, karena tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan galat tersebut dengan nilai sejatinya. Untuk mengetahui besarnya tingkat kesalahan galat terhadap nilai sejatinya, maka dibandingkan antara kesalahan yang terjadi dengan nilai sejatinya. Galat inilah yang disebut galat relatif. Galat relatif didefinisikan sebagai.

 =                  atau dalam persentase              =  x 100%

Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dalam metode numerik, nilai sejati biasanya tidak diketahui, karena nilai sejati hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi bisa diselesaikan secara analitis. Untuk itu kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai hampiran atau perkiraan terbaik dari nilai sejatinya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran. Galat relatif hampiran didefinisikan sebagai berikut:

 =         atau dalam persentase              =  x 100%

Contoh:

Misalkan solusi hampiran 7, 25 dan solusi sejatinya 7,3333.... Hitunglah galat absolut, galat relatif, dan galat relatif hampiran!

Penyelesaian:

Galat Absolut    : | ɛ |     = | a – â |

      = | 7,3333…..  - 7,25 |

= 0,0833……

Galat relatif    :   =

                                    =

                                    = 0,0113636364

Galat relatif hampiran :  =

                                               =

                                               = 0,0114942529

Dalam menghitung galat relatif hampiran seperti yang tertera di atas, ternyata masih mengandung kelemahan sebab nilai ɛ tetap membutuhkan pengetahuan nilai a (dalam praktek jarang sekali mengetahui nilai sejati a). Oleh karena itu, pada metode numerik perhitungan galat relatif hampiran menggunakan pendekatan lain yaitu pendekatan lelaran (iteration) yang didefinisikan sebagai berikut:

Keterangan :

  = nilai hampiran lelaran saat ini

        = nilai hampiran lelaran sebelumnya.

Dalam hal ini, proses perhitungan lelaran dihentikan apabila   < , dimana  adalah toleransi galat yang dispesifikasikan

Bila a adalah suatu bilangan sedemikian sehingga memenuhi |â – a| ≤ Da, dimana Da adalah batas atas pada besaran dari kekeliruan mutlak, maka persamaan tersebut disebut dengan ukuran ketelitian relatif. Berdasarkan persamaan di atas maka diperoleh bahwa ukuran ketelitian relatif adalah:

Contoh:

Jika a adalah bilangan yang dibulatkan ke n tempat desimal maka . Bila a = 0,51, maka a teliti sampai 2 tempat desimal. Sehingga  dan ketelitian relatifnya adalah

Contoh:

Hasil pengukuran sebuah meja adalah panjang 95,6 cm. Tentukan persentase galat relatif!

Penyelesaian:

1)      Menentukan galat mutlak terlebih dahulu

Dengan menggunakan aturan ketelitian relatif diperoleh galat mutlak adalah

2)      Menentukan Persentase Galat Relatif

   =

Menurut Bambang Triatmodjo ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan.

1.    Kesalahan bawaan

Kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2.    Kesalahan pembulatan

Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan.

Dalam galat pembulatan, terdapat istilah angka bena atau angka signifikan. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti. Beberapa pedoman untuk menemtukan sebuah bilangan termasuk dalam angka bena, diantaranya adalah (1) Pada umumnya, semua angka adalah angka bena, (2) angka nol di depan angka bukan nol tidak termasuk dalam angka bena, (3) angka nol diantara atau diapit angka bukan nol termasuk angka bena, dan (4) angka nol di belakang angka bukan nol termasuk angka bena.

Komputer hanya bisa menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer tersebut. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan.

Contoh: 0,001360    memiliki 4 angka bena

0,1764         memiliki 4 angka bena

278,300       memiliki 6 angka bena

Contoh:  a = 1/3 =  0,33333 . . . dan  â = 0,33333.

Galat pembulatannya  e = 0,00000333 . . . .

3.    Kesalahan pemotongan

Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar atau penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematik yang lebih kompleks “diganti” dengan formula yang lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yang digunakan untuk penghampiran sehingga kadang-kadang ia disebut juga galat metode.

Istilah “pemotongan” muncul karena banyak metode numerik yang diperoleh dengan penghampiran fungsi menggunakan deret Tylor. Karena deret Tylor merupakan deret yang tidak berhingga, maka untuk penghampiran tersebut, deret Tylor harus kita potong/hentikan sampai suku orde tertentu saja. Penghentian suatu deret tersebutlah yang menimbulkan galat pemotongan.

Contoh, hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Tylor di sekitar x = 0.

Nilai hampiran

Cos (x) = 1 -  +  -  +  -  + …….

Pemotongan

Galat pemotongan

 

Jumlah suku-suku selanjutnya setelah pemotongan merupakan galat pemotongan untuk cos (x). kita tidak dapat mengetahui sisanya, karena jumlah deretnya yang tak berhingga. Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan tersebut dengan rumus suku sisa yaitu:

Contoh :

Tentukan hampiran fungsi ln(x) menggunakan deret Taylor sampai orde-4 di sekitar , lalu tentukan hampiran ln (0,9).

Penyelesaian:

Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) dulu:

f(x)  = ln (x)         f(1) = 0

f’(x) =                f’(1) = 1

f’’(x) =          f’’(1) = -1

f’’’(x) =            f’’’(1) = 2

f⁴(x) =-             f⁴(1) = -6

f⁵(x) =              f⁵(c) =

Deret Taylornya adalah :     

ln (x) = (x – 1) –

maka:

    ln (0,9) = (0,9 – 1) –

= - 0,1 – (0,005) + (- 0,00033333) – 0,000025 +

= - 0,1053583 +  

Dan sisa galat pemotongan :

Karena terletak dalam selang  dan berdasarkan fakta, bahwa jika suatu pecahan nilainya semakin besar jika penyebutnya dibuat lebih kecil. Maka, nilai c yang dipakai adalah 0,9.

 ≈  x

                                                                  ≈

Sehingga, nilai ln(0,9) = - 0,1053583 dengan galat pemotongan <

LATIHAN SOAL

1.      Hitunglah galat mutlak dan galat relatif, pada angka signifikan dengan masing-masing hampiran berikut ini:

a.       Nilai sejati x=1,6433333 dihampiri dengan nilai hampiran =1,643

b.      Nilai sejati x=1999 dihampiri dengan niai hampiran  = 2000

2.      Tentukan persentase galat relatif dari hasil pengukuran berikut:

a.       0,098 m

b.      23,4 cm

c.       3,43 kg

KUNCI JAWABAN

1.	a.    x=1,6433333 dan =1,643 Galat Mutlak:   = |1,6433333 - 1,643| = 0,0003333 Galat Relatif:   = 0,0002028194767 b.    x=1999 dan =2000 Galat Mutlak:   = | 1999 - 2000| = 1 Galat Relatif:   = 0,0005002501215
2.	a.    x = 0,098 m Galat Relatif:   b.    x = 23,4 cm   Galat Relatif:   c.    x =3,43 kg Galat Relatif: